ЗНАКОМСТВО С МНОГОГРАННИКАМИ.

Мы уже много раз встречались с такими фигурами, как куб (рис. 3.23) и прямоугольный параллелепипед (рис. 3.24). Это примеры фигур, которые называются многогранниками.
Что такое многогранник? Как его можно определить?
Какими простейшими свойствами он обладает?

В геометрии многогранником называют геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Каждый многогранник имеет поверхность и внутреннюю область. Например, поверхность куба состоит из шести одинаковых квадратов — его граней. Все точки куба, не лежащие на его поверхности, образуют его внутреннюю область.

Из рис. 3.24 видно, что поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников.
Можно назвать такие свойства куба и прямоугольного параллелепипеда:
• Поверхность куба состоит из шести одинаковых квадратов, а поверхность прямоугольного параллелепипеда — из шести прямоугольников. Перечисленные многоугольники называются гранями соответственно куба и прямоугольного параллелепипеда.
• Грани куба и прямоугольного параллелепипеда попарно пересекаются по 12 отрезкам, которые называются их рёбрами.
• Куб и прямоугольный параллелепипед имеют восемь вершин, в каждой из которых сходятся по три ребра этих многогранников.

СОДЕРЖАНИЕ

Как работать с учебником 3
Раздел 1. Геометрические фигуры
Глава 1. Основные геометрические фигуры
1.1. Понятие геометрической фигуры 9
1.2. Отрезки и их длины 11
Глава 2. Углы
2.1. Углы на плоскости 18
2.2. Смежные углы 22
2.3. Что такое трёхгранный угол 23
2.4. Многогранные углы 25
Глава 3. Треугольники, многоугольники, многогранники
3.1. Треугольник. Свойства его сторон и углов 31
3.2. Многоугольники 34
3.3. Углы многоугольников. Правильные многоугольники 36
3.4. Знакомство с многогранниками 38
Глава 4. Пирамиды
4.1. Понятие пирамиды. Виды пирамид 46
4.2. Развёртки поверхностей пирамид 48
4.3. Общее представление о правильных многогранниках 49
4.4. Теорема Эйлера 50
Раздел 2. Изометрии и равенство фигур
Глава 5. Задачи на построение
5.1. Определения и некоторые свойства круглых фигур 55
5.2. Основные чертёжные инструменты и решение задач на построение 58
5.3. Понятие равенства треугольников. Первый признак равенства треугольников 59
5.4. Другие признаки равенства треугольников 65
Глава 6. Изометрии
6.1. Поворот. Геометрические преобразования 72
6.2. Центральная симметрия. Изометрия 74
6.3. Центрально-симметричные фигуры и их свойства 77
Раздел 3. Взаимное расположение прямых
Глава 7. Пересекающиеся прямые
7.1. Понятие пересекающихся прямых. Вертикальные углы 84
7.2. Конус. Развёртка конуса 86
Глава 8. Перпендикулярные прямые
8.1. Перпендикулярность прямых 91
8.2. Построение перпендикулярных прямых 92
8.3. Высота треугольника 96
8.4. Осевая симметрия и её применение 97
8.5. Оси симметрии отрезка. Серединный перпендикуляр к отрезку 101
8.6. Оси симметрии некоторых круглых фигур 103
8.7. Оси симметрии угла и равнобедренного треугольника 104
8.8. Геометрические места точек 108
8.9. Перпендикуляр и наклонная 109
8.10. Касательная к окружности 111
Глава 9. Параллельные прямые
9.1. Понятие параллельности прямых 120
9.2. Параллельность прямых и центральная симметрия 122
9.3. Параллельность и перпендикулярность прямых 124
9.4. Аксиома параллельных. Построение параллельных прямых 125
9.5. Пересечение двух прямых секущей 128
9.6. Признаки параллельности прямых 129
9.7. Свойства параллельных прямых и секущей 130
9.8. Теорема о сумме углов треугольника 131
9.9. Свойства углов треугольников и многоугольников 133
9.10. Неевклидова геометрия 134
Глава 10. Параллелограмм, ромб, трапеция
10.1. Параллелограммы 143
10.2. Центр симметрии параллелограмма 145
10.3. Признаки параллелограмма 146
10.4. Обратные теоремы 148
10.5. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника 149
10.6. Ромб 154
10.7. Трапеция 155
Глава 11. Площади и объёмы
11.1. Знакомство с площадями фигур 167
11.2. Площадь прямоугольника. Площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда 169
11.3. Теорема Пифагора 171
11.4. Площадь треугольника 172
11.5. Площадь параллелограмма 175
11.6. Площадь трапеции и произвольного многоугольника 177
11.7. Знакомство с объёмами фигур 178
Раздел 4. Векторы
Глава 12. Параллельный перенос
12.1. Что такое параллельный перенос 189
12.2. Свойства параллельного переноса 191
12.3. Орнаменты, бордюры, паркеты 192
Глава 13. Векторы и операции с ними
13.1. Что такое вектор 196
13.2. Коллинеарные и компланарные векторы 197
13.3. Равенство векторов 199
13.4. Сложение векторов 200
13.5. Свойства операции сложения векторов на плоскости 201
13.6. Правило параллелепипеда для сложения векторов 204
13.7. Разность векторов 205
13.8. Операция умножения вектора на число и её свойства 206
13.9. Признак коллинеарности векторов 207
13.10. Разложение вектора на составляющие 208
13.11. Применение векторов для решения задач 210
Раздел 5. Подобие и гомотетия
Глава 14. Подобие треугольников
14.1. Понятие подобных треугольников 219
14.2. Первый признак подобия треугольников 221
14.3. Другие признаки подобия треугольников 226
14.4. Свойства подобных многоугольников 228
Глава 15. Гомотетия
15.1. Понятие гомотетии 234
15.2. Свойства гомотетии 236
15.3. Гомотетии и изометрии 237
Раздел 6. Синус и косинус. Метрические соотношения в треугольнике
Глава 16. Синус и косинус
16.1. Центральные углы и дуги окружности 242
16.2. Определение синуса и косинуса 243
16.3. Синус и косинус острых углов в прямоугольном треугольнике 245
16.4. Тангенс и котангенс 247
Глава 17. Метрические соотношения в треугольнике
17.1. Решение треугольников. Теорема косинусов 251
17.2. Ещё одна формула для вычисления площади треугольника 253
17.3. Теорема синусов 254
Раздел 7. Вписанные и описанные многоугольники
Глава 18. Свойства и признаки вписанных и описанных многоугольников
18.1. Вписанные углы 260
18.2. Вписанные и описанные треугольники 263
18.3. Вписанные и описанные четырёхугольники 265
Глава 19. Правильные многоугольники
19.1. Вписанные и описанные окружности для правильных многоугольников 274
19.2. Построение правильных многоугольников 277
19.3. Формулы для вычисления стороны, периметра и площади правильного многоугольника 278
19.4. Длина окружности 280
19.5. Площадь круга 282
Ответы 288
Указатель аксиом 299
Указатель теорем 300
Указатель определений 305
Тематический указатель 311.